Внутри треугольника ABC взята случайная точка O и через нее проведены

Дано: АВС

EFAB; PSBC; KMAC;

r; r; r - радиусы вписанных окружностей в KPO; OFM; EOS.

Найти R - радиус окружности, вписанной в АВС

Решение.

1)  

Пусть

а - основание KPO;

b - основание EOS.

c - основание OFM.

Но

а = КО = АЕ, как обратные стороны параллелограмма АКОЕ.

с = ОМ = SC, как обратные стороны параллелограмма SOMC.

Получаем

(a+b+c) - основание АС у АВС.

2)

Все три внутренних треугольника сходственны меж собой и сходственны данному АВС, т.к. их соответствующые стороны параллельны. 

В в подобных треугольниках подходящие стороны и все подходящие линии пропорциональны.

Из подобия следуют три пропорциональности:

а/(a+b+c)=r/R;

b/(a+b+c)=r/R;

c/(a+b+c)=r/R;

Сложим эти пропорции.

а/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)= r/R + r/R + r/R;

(a+b+c)/(a+b+c) = (r+r+r)/R;

1 = (r+r+r)/R;

R = (r+r+r).

Ответ: R = r+r+r.