Решить 2 дифференциальных уравнения и систематизировать каждое из

Question

Решить 2 дифференциальных уравнения и систематизировать каждое из

Решить 2 дифференциальных уравнения и систематизировать каждое из их:

2x(x^2+y^2)dy=y(y^2+2x^2)dx

xy'-2y-xy^3=0; В этом ДУ решить задачу Коши y(1)=1

Задать свой вопрос

Тимур Нелькин
Алгебра
2019-08-02 05:08:07
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Что такое однородные члены?

Решите пожалуйста !!!! Необходимо понятное решение! С объяснениями! Дано,решение!Заблаговременно огромное

Способ подстановки 4х-5у=-22 3х+2у=18

Составить предложение, используя все знаменитые части речи

1. В итоге взаимодействия всех оболочек Земли сформироваласьA) литосфераB) окружающая

Скажите, пожалуйста, в британском языке некие слова нам необходимо употреблять по

у человека карии глаза наследуютя как доманантный прищнак, а голубые как

Напишите молекулярное, полное, ионное и короткое ионное уравнение:1)FeSO4+KOH 2)CaCl2+Na2CO3

Безусловный минимум температуры воздуха наблюдается А) СалехардБ)ЯмбургеВ)Тарко-Сале

Душистою веткою машучи, Впивая впотьмах это благо,Бежала на чашечку с чашечки

Эльвира Вафаева · Answer 1 · 2019-08-02 05:13:05+3:00

$2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$
Систематизация: дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной условно производной, однородное.

Убедимся, что данное уравнение однородное. Проверим условие однородности. Для этого домножим каждый x и каждый y на некоторого $\lambda\ne 0-const$
$2\lambda x(\lambda^2x^2+\lambda^2y^2)dy=\lambda y(\lambda^2y^2+2x^2\lambda^2)dx\\ \\ 2\lambda^3 x(x^2+y^2)dy=\lambda^3y(y^2+2x^2)dx\\ \\ 2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$

Пусть $y=ux$ , тогда $y'=u'x+u$ . Получаем

$2x(x^2+u^2x^2)(u'x+u)=ux(u^2x^2+2x^2)\\ 2(1+u^2)(u'x+u)=u(u^2+2)\\ \\ 2u'x+2u+2u^2u'x+2u^3=u^3+2u\\ 2xu'(1+u^2)=-u^3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle 2x(1+u^2)\fracdudx =-u^3 \Rightarrow \frac(1+u^2)duu^3 =- \fracdx2x$
Проинтегрируем обе части уравнения, имеем:
$\displaystyle \int \frac(1+u^2)duu^3 =-\int \fracdx2x \Rightarrow\int\bigg( \frac1u^3 + \frac1u \bigg)du=-\int \fracdx2x\\ \\ \frac1u^2-2\lnu=\lnx$

Получили общий интеграл условно неведомой функции u(x). Возвращаемся к оборотной подмене

$\fracx^2y^2-2\ln \fracyx =\lnx$ - общий интеграл и ответ.

$xy'-2y-xy^3=0:x\\ y'- \frac2yx -y^3=0$
Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.

Применим метод Бернулли:
Пусть $y=uv$ , тогда $y'=u'v+uv'$ Получаем

$u'v+uv'- \frac2uvx -u^3v^3=0\\ \\ v(u'- \frac2ux )+uv'-u^3v^3=0$

1) $u'-\frac2ux =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \fracdudx =\frac2ux \Rightarrow \int \fracduu=2\int \fracdxx \Rightarrow \lnu=2\lnx\\ \\ \lnu=\lnx^2\\ \\ u=x^2$

2) $uv'-u^3v^3=0\\$
Подставляя u=x^2, имеем $v'-x^4v^3=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \fracdvdx =x^4v^3\Rightarrow\int \fracdvv^3 =\int x^4dx\Rightarrow- \frac12v^2 = \fracx^55 +C\\ \\ v= \frac \sqrt5 \sqrtC-2x^5$

$y=uv= \dfrac \sqrt5x^2 \sqrtC-2x^5$ - общее решение.

Найдем сейчас приватное решение, подставляя исходные условия:
$1=\dfrac \sqrt5\cdot 1^2 \sqrtC-2\cdot 1^5 \Rightarrow C=7$

$\boxedy=\dfrac \sqrt5x^2 \sqrt7-2x^5$ - частное решение.

О проекте

Решить 2 дифференциальных уравнения и систематизировать каждое из

Добро пожаловать!