как решать системы 2-ух уравнений первого степени с двумя неизвестными

А) Метод подстановки состоит в том, что:

1) из 1-го уравнения мы обретаем выражение 1-го из безызвестных, например x, через знаменитые величины и иное безызвестное у,

2) найденное выражение подставляем во 2-ое уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;

3) решаем приобретенное уравнение и находим значение у; 4) подставляя отысканное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.

Пример. Решить систему уравнений:

8x 3y = 46,
5x + 6y = 13.

1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:

2) Подставляем это выражение во второе уравнение:

3) Решаем приобретенное уравнение:

5(46+3y)/8 + 48y/8 = 13,
5(46+3y) + 48y = 104,
230 + 15y + 48y = 104,
15y+48y = 104 230,
63y = - 126, y = - 2.

4) Отысканное значение y = - 2 подставляем в выражение ; получаем, т.е. x = 5.

б) Метод сложения или вычитания состоит в том, что:

1) обе части 1-го уравнения умножаются на некий множитель; обе доли второго уравнения множатся на иной множитель. Эти множители подбираются так, чтоб коэффициенты при одном из безызвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину.

2) Складываем два уравнения либо вычитаем их друг из друга, глядя по тому, имеют ли уравненные коэффициенты разные либо схожие знаки; этим одно из безызвестных исключается.

3) Решаем приобретенное уравнение с одним безызвестным.

4) Иное безызвестное можно отыскать тем же приемом, но обычно, проще всего подставить отысканное значение первого неведомого в хоть какое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним безызвестным.

Пример. Решить систему уравнений:

8x 3y = 46,
5x + 6y = 13.

1) Проще всего уравнять безусловные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе доли второго - на 1, т. е. оставляем второе уравнение постоянным:

2) Складываем два уравнения:

3) Решаем приобретенное уравнение:

4) Подставляем значение x = 5 в 1-ое уравнение;
имеем:
40 - 3y = 46; - 3y = 46 40; - 3y = 6.
Отсюда

Метод сложения и вычитания следует предпочесть иным методам:

1) когда в данных уравнениях безусловные величины коэффициентов при одном из неизвестных равны (тогда 1-ый из шагов решения становится негодным);

2) когда сразу видно, что числовые коэффициенты при одном из неведомых уравниваются с подмогою маленьких целочисленных множителей;

3) когда коэффициенты уравнений содержат буквенные выражения.

Пример. Решить систему:

(a + c)x (a с)y = 2ab,
(a + b)x (a - c)y = 2ac.

1) Уравниваем коэффициенты при х, помножая обе доли первого уравнения на (a + b), а второго на (а + с), получаем:

(a + c)(a +b)x (a + b)(a - c)y = 2ab(a + b),
(a +c)(a +b)x (a-b)(a + c)y = 2ac(a +c).

2) Вычитаем из первого уравнения 2-ое; получаем:

[(a - b)(a + c) (a + b)(a - c)]y = 2ab(a + b) 2ac(a + c).

3) Решаем полученное уравнение:

Это выражение можно значительно упростить, для чего однако, потребуются достаточно длинные преображенья. В числителе и знаменателе раскроем скобки,

4) Чтоб отыскать x, уравняем коэффициенты при y в начальных уравнениях, помножив 1-ое на (a - b), 2-ое на (a - с). Вычтя одно полученное уравнение из другого, решим уравнение с одним неизвестным; найдем:

Выполняя такие же преображения, как в прошлом пункте, получим х = b + c - a. Подстановка значения y d одно из исходных уравнений востребовала бы более мучительных вычислений; п