3. Дополните фразы: round, across, out, back1. He came. this chessboard

Судя по заданию вы проходите фразовые глаголы. В этом случае хорошим вариантом будет смотреть разъяснения в английском словаре. К примеру oxfordlearnersdictionaries

Окей, поглядим на то, какие значения имеет каждый фразовый глагол и сравним с заданием.

---------------------------------------------------------

come round

1) to become conscious again - прибывать в себя (после обморока, хвори)

2) (of a date or a regular event) to happen again - наступать; состояться, происходить

come around/round (to)

to come to a place, especially somebodys house, to visit for a short time - входить, заезжать, приходить в гости.

come around/round (to something)

to change your mood or your opinion - поменять воззренье, убеждение; соглашаться

---------------------------------------------------------

come across (=come over)

1) to be understood - восприниматься, доходить

2) to make a particular impression - пониматься как, создавать воспоминание, казаться

come across somebody/something

to meet or find somebody/something by chance - натыкаться на что-или/ кого-или

come across (with something)

to provide or supply something when you need it - передавать, выражать(ся)

---------------------------------------------------------

come out

1) when the sun, moon or stars come out, they appear - появиться (о звездах, Луне, Солнце)

2) (of flowers) to open - распускаться (о листьях, цветах)

3) to be produced or published - публиковаться, выпускаться

4) (of news, the truth, etc.) to become known - обнаруживаться, проявляться(так же о старых фото), раскрываться

5) to be shown clearly - раскрываться (о чел. качествах)

6) when words come out, they are spoken - выходить (о словах)

7) to say publicly whether you agree or disagree with something -  выступать, делать заявление

come out (of something)

1) (of an object) to be removed from a place where it is fixed - выдирать, отдирать.

2) (of dirt, a mark, etc.) to be removed from something by washing or cleaning - удалить, убрать

---------------------------------------------------------

come back

1) to return - возвращаться к (прежнему)

2) to become popular or successful again - возвратиться (о моде к примеру)

come back (to somebody)

to return to somebodys memory - возвратиться, вспоминать

---------------------------------------------------------

Окей, посмотрим сейчас на задания.

1) He came. this chessboard in an antiques shop.

Он ... шахматную дощечку в антикварном магазине.

быстрее всего, он нашел ее нечаянно. Т.е. это come across

He came across this chessboard in an antiques shop.

2) They came to their home town because they missed it.

Они ... в их родной город, поэтому что заскучали по нему. Быстрее всего "они возвратились", т.е. come back

They came back to their home town because they missed it.

3) John came to see my new stereo.

Джон ... посмотреть на (не знаю как перевести стерео, но быстрее всего это проигрыватель либо что-то в этом роде)

Тут вероятнее всего - пришел в гости, потому come round

John came round to see my new stereo.

4) His new book has come recently.

Его новенькая книжка ... недавно.

Раз книжка, то "была опубликована", а означает come out

His new book has come out recently.

5) She came to the country a month ago.

Она ... в страну месяц вспять

Скорее всего, она возвратилась месяц вспять, т.е. come back

She came back to the country a month ago.

Впрочем если какой-то из пт по смыслу будет вам казаться более подходящим, чем предложенный мною, неустрашимо меняйте :)