Mr. Brown ... for the first time two years ago. a)

Mr. Brown (c) registered for the first time two years ago. - Впервые мистер Браун зарегистрировался 2 года вспять.
So last year he (b) didnt register. - Потому в прошлом году он не регился.

В этих предложениях употребляется Past Simple: two years ago,  last year - выражения, употребляющиеся в прошедшем простом медли.

His colleagues also ask Mr. Brown why he has avoided (c) registering for classes. - Его коллеги спрашивают мистера Брауна, почему он избежал регистрации на занятия.

После глагола avoid последующий глагол упортребляется с -ing окончанием.