Какой артикль необходимо вставить в предложение Give me __ ball?

Тут нам необходимо отталкиваться от ситуации.

В случае, если имеется ввиду определенный, определенный мяч, если мы хотим сказать: Дай мне этот мяч, то нужно применить определенный артикль "The".

Во всех остальных случаях употребляется неопределенный артикль "A".

Это просто определяется в контексте. Если предмет упоминается в первый раз, он употребляется с неопределенным артиклем "A". В последующем за ним предложении он уже употребляется с определенным артиклем "The".

К примеру:

I saw a ball in the store. "Give me the ball," I asked the seller.