Miss Chatter (doesn t \ wont\didnt) send these postcards next

Событие времени next week указывает на то, что деяние, обрисовываемое в предложении, относится к будущему. Поэтому сказуемое необходимо употребить в форме Future Simple, которая состоит из вспомогательного глагола will и инфинитива основного глагола без частицы to. В отрицательной форме к вспомогательному глаголу will добавляется отрицательная частица not, в сокращённом виде - wont. Этот вариант и избираем:

Miss Chatter wont send these postcards next week. - Мисс Четтер не будет посылать эти открытки на следующей неделе.