Which is right? A: Are you doing/ Will you do anything

A: Are you doing anything this evening?

B: Yes, Im going out with some friends.

В тексте:

Are ... doing - Present Continuous; 

Will ... do - Future Simple;

Im going - Present Continuous;

Ill go - Future Simple.

Будущее обычное (Future Simple) и настоящее продолжительное (Present Continuous) выражают будущее время. Present Continuous употребляется в случае, если речь идет о запланированных ранее деяниях либо договоренностях, а Future Simple - когда решение принято в момент речи.