Как правильнее David should stay the night there if he missed

Корректность варианта зависит от того, какой смысл вы вкладываете в это условное предложение. Если вы имеете в виду, что Дэвиду следует остаться там на ночь, если он не успеет на последний поезд, то это будет переводиться вот так: "David should stay the night there if he misses the last train". Это 1 тип условного предложения (реальное условие, совет).

А если имеется в виду, что Дэвиду следовало бы остаться там на ночь, если он не успел на заключительный поезд (то есть, мы выражаем раскаяние о том, что в данном случае не вышло), то правильно сказать так: "David should have stayed the night there if he had missed the last train (3 тип условного предложения, мистическое условие). Обратите внимание, что, невзирая на то, что David это 3 личико единственного числа, при образовании глагола-сказуемого употребляется have, а не has: should have stayed.