1) Which of these people are not elected: a peer, an MP,

1) Which of these people are not elected: a peer, an MP, a civil servant, the Prime Minister? Кто из этих людей не избирается: пэр, член парламента, госслужащий, Премьер Министр.   Peers are not elected. Пэры не избираются.   MPs are elected every 5 year. Члены парламента избираются каждые 5 лет.   Civil servants are not elected.  Госслужащие  не избираются.  

Prime Minister is usually the leader of the party which has а majority in the House of Commons.  So he is not elected. Премьер-министром обычно становится фаворит партии, получившей большинство мест в палате общин. Как следует, он не избирается.

 
2) What is the difference between a life peer and a hereditary peer? В чем различия меж бессрочными пэрами и потомственными пэрами.   Hereditary peers have inherited their titles; Наследственные пэры получают свои звания по наследству. Life peers who are appointed by the Queen on the advice of the Government for various services to the nation; Бессрочные пэры назначаются царицой по предложению от правительства за разные достижения во благо страны.
3) What are civil servants? Кто такие госслужащие?   Departments and ministries are run by civil servants, who are permanent officials. Even if the Government changes after an election, the same civil servants are employed. Министерства и ведомства находятся в ведении госслужащих, которые являются неизменными бюрократами. Даже если правительство изменяется после выборов, те же самые госслужащие продолжают работать. 
4) Is the Prime minister also an MP? Премьер министр тоже является членом парламента? Yes, The Prime Minister, or leader of the Government, is also an MP. Да, Премьер министр, лидер правительства, также является членом парламента.
5) Is the prime minister the leader of the political party with a minority in the House of Commons? Премьер министр фаворит политической партии с минимальным количеством мест в палате общин?

No, Prime Minister is usually the leader of the party which has а majority in the House of Commons.  Премьер-министром обычно становится фаворит партии, получившей большая часть мест.