Численность лабораторной популяции простых вырастает экспоненциально. В некий момент эта

Выражение экспоненциальный рост вошло в наш лексикон для обозначения прыткого, как верховодило безудержного роста. Оно нередко употребляется, к примеру, при описании быстрого роста числа городов либо роста численности народонаселенья. Однако в арифметике этот термин имеет четкий смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности приблизительно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в мудром приближении,

прирост народонаселенья = число рождений  число смертей

    = rN

(Тут r  так нарекаемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN  число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

    dN = rN dt

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N  численности популяции в хоть какое данное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

    N = N0 ert

где N0  число особей в популяции на начало отсчета, а t  время, прошедшее с этого момента. Символ е означает такое особое число, оно называется основание натурального логарифма (и предположительно одинаково 2,7), и вся правая часть уравнения именуется экспоненциальная функция.

Чтоб превосходнее понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую вначале из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов либо минут) амеба делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через последующий промежуток времени любая из этих 2-ух микробов опять разделится надвое, и размер популяции опять удвоится  теперь будет теснее четыре бактерии. После 10 таких удвоений будет теснее более тыщи микробов, после 20  более миллиона, и так дальше. Если с каждым разделением популяция будет умножаться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (быстрее всего, не подходящая действительности), словно бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое наслаждение своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клеточку шахматной дощечки одно зерно пшеницы, на вторую  два, на третью  четыре и так дальше. Султан, посчитав это требование жалким по сопоставлению с оказанной им услугой, попросил собственного поданного придумать иную просьбу, но тот отказался. Природно, к 64-му удвоению число зернышек стало таким, что во всем мире не нашлось бы подходящего количества пшеницы, чтоб удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент отдал приказ отрубить голову изобретателю. Мораль, как я разговариваю моим студентам, такая: время от времени не следует быть очень умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми микробами) показывает нам, что никакая популяция не может расти постоянно. Рано либо поздно она попросту исчерпает ресурсы  пространство, энергию, воду, что угодно. Потому популяции могут расти по экспоненциальному закону только некоторое время, и рано либо поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к очень возможной (которая может поддерживаться наружной средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту наивысшую численность популяции K. Тогда переделанное уравнение будет выглядеть так:

    dN = rN(1  (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к начальному уравнению обыденного экспоненциального роста. Но когда N приближается к своему наибольшему значению K, значение 1  (N/K) устремляется к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, обрисовываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько заглавий  S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерры, уравнение ЛоткиВольтерры. (Вито Вольтерра, 18601940  выдающийся итальянский математик и учитель; Альфред Лотка, 18801949  южноамериканский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни величалась, это  достаточно обычное выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а потом замедляющейся при приближении к некоему лимиту. И она еще лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.