Стороны треугольника одинаковы 8, 9 и 13 сантиметров. К наивеличайшей стороне

Решение.

Задачка имеет два метода решения. 1-ый, который не нравится учителям средней школы, но является более универсальным.

Метод 1.

Применим Аксиому Стюарта, согласно которой квадрат медианы равен одной четвертой от суммы двойных квадратов сторон из которой вычли квадрат стороны, к которой проведена медиана.

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4

Соответственно

mc2 = ( 2 * 82 + 2 * 92 - 132) / 4
mc2 = 30,25
mc = 5,5 см

Способ 2.

2-ой метод решения, который преподаватели в школе обожают - это дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через аксиому о диагоналях параллелограмма.

Продлим стороны треугольника и медиану достроив их до параллелограмма. В этом случае медиана треугольника будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, а две стороны треугольника - его боковым сторонам. Третья сторона треугольника, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма.

Сообразно аксиоме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна двойной сумме квадратов его сторон.

2(a2+b2)=d12+d22

Обозначим диагональ параллелограмма, которая образована продолжением медианы начального треугольника как х, получим:

2( 82 + 92 ) = 132 + x2
290 = 169 + x2
x2 = 290 - 169
x2 = 121
х = 11

Поскольку искомая медиана равна половине диагонали параллелограмма, то величина медианы треугольника составит 11 / 2 = 5,5 см

Ответ: 5,5 см