Висоти ME i NF трикутника MKN перетинаються в точц О, ОМ

Дано:
MKN. ME - висота (ME KN). FN - висота (FN MK).
ME FN = 0. OM = ON; MF = KE.
Довести: MNK - рвностороннй.
Доведения:
Розглянемо MOF i NOE.
За умовою NF - висота (NF MK); NFM = 90 i MЕ - висота; MEN = 90.
1) MFO = NEO = 90;
2) MOF = NOE (вертикальн);
3) ОМ = ON.
За ознакою piвностi прямокутних трикутникв мамо: MFO = NEO.
Звдси MF = EN.
За умовою MF = KE i MF = EN, тобто KE = EN.
За умовою ME - висота. Тод AMKN - рвнобедрений, MK = MN.
Розглянемо MFN i NEM:
1) MFN = MЕN = 90;
2) MF = EN;
3) MN - спльна сторона.
Тому MFN = NEM. Звдси FMN = MNE.
Отже, MKN - рвнобедрений. MK = KN. Якщо MK = MN i MK = KN.
Тому ABC - рвностороннй.
Доведено.