Вышина четырехугольной пирамиды одинакова 4см. а её апофема творит с вышиной

Решение.

Исходя из того, что по условию задачки неважно какая апофема творит с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с вышиной пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения вышины и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол.

Данный треугольник является равнобедренным, так как сумма углов треугольника одинакова 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла одинаковы - треугольник равнобедренный.

Таким образом, длина стороны основания одинакова удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, потому второй катет равен вышине пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной).

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного вышиной пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды одинакова

a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из 2-ух

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из 2-ух

Ответ: 64 корня из двух