Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, одинаковы, соответственно, nbsp;3 см и

Решение
nbsp;treug.gif

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 параметров медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах очевидно обозначено соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Потому,для удобства будущих вычислений (что никак не воздействует на корректность решения, но сделает его более комфортным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).

Осмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачки, катет AC - общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по аксиоме Пифагора nbsp;nbsp;

AC2 + CD2 = AD2
Так как AC = 2x, CD = y (так как медиана разделяет катет на две одинаковые части), то
4x2 + y2 = 9 nbsp;
Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачки, катет BC является общим с катетом BC начального треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По аксиоме Пифагора:
EC2 + BC2 nbsp;= BE2
Поскольку EC = x (медиана разделяет катет напополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2 nbsp;= 16
Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны меж собой общими гранями, то оба приобретенных уравнения также связаны меж собой.
Решим полученную систему уравнений. nbsp;
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2 nbsp;= 16

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было избрать и хоть какой другой метод решения).
5x2 + 5y2 = 25 nbsp;nbsp;
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5

Обратимся к начальному треугольнику ABC. По аксиоме Пифагора nbsp;nbsp;
AC2 + BC2 nbsp;= AB2

Так как длина каждого из катетов нам quot;известнаquot;, мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4x2 + 4y2 = AB2
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
4 ( x2 + y2 ) = AB2 nbsp;nbsp;
Чему одинаково nbsp;x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), потому просто подставим значения вместо nbsp;x2 + y2

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = 20 = 25 nbsp;nbsp;
Ответ: длина гипотенузы одинакова 25