Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, одинаковы, соответственно, nbsp;3 см и

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, одинаковы, соответственно, nbsp;3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Задать свой вопрос
1 ответ
Решение
nbsp;treug.gif

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 параметров медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах очевидно обозначено соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Потому,для удобства будущих вычислений (что никак не воздействует на корректность решения, но сделает его более комфортным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).

Осмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачки, катет AC - общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по аксиоме Пифагора nbsp;nbsp;

AC2 + CD2 = AD2
Так как AC = 2x, CD = y (так как медиана разделяет катет на две одинаковые части), то
4x2 + y2 = 9 nbsp;
Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачки, катет BC является общим с катетом BC начального треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По аксиоме Пифагора:
EC2 + BC2 nbsp;= BE2
Поскольку EC = x (медиана разделяет катет напополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2 nbsp;= 16
Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны меж собой общими гранями, то оба приобретенных уравнения также связаны меж собой.
Решим полученную систему уравнений. nbsp;
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2 nbsp;= 16

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было избрать и хоть какой другой метод решения).
5x2 + 5y2 = 25 nbsp;nbsp;
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5

Обратимся к начальному треугольнику ABC. По аксиоме Пифагора nbsp;nbsp;
AC2 + BC2 nbsp;= AB2

Так как длина каждого из катетов нам quot;известнаquot;, мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4x2 + 4y2 = AB2
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
4 ( x2 + y2 ) = AB2 nbsp;nbsp;
Чему одинаково nbsp;x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), потому просто подставим значения вместо nbsp;x2 + y2

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = 20 = 25 nbsp;nbsp;
Ответ: длина гипотенузы одинакова 25
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы
Имеются три конденсатора емкостью С1=1мкФ, С2=2мкФ и С3=3мкФ. Какую наименьшую емкость

Физика.

Из точки м выходят 3 луча MP MN и MK причём

Геометрия.

выпиши в свою тетрадь те правила этикета которые тебе не были

Разные вопросы.

Анна хорошо учится у неё много подруг свободное от учёбы время

Обществознание.

10) Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8

Математика.

Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа

Химия.

Составить монолог от имени дневника двоечника 7-10 предложений

Русский язык.

Рассматривая литературный язык как сложное взаимодействие книжного языка и разговорного,В.И.Чернышёв горячо

Разные вопросы.

Арабы входят в __________________ групп народов. Местом расселения арабов с незапамятных

Разные вопросы.

Грузовой автомобиль марки краз за одну поездку может доставить 7.500 кирпичей

Математика.

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт