.Биссектрисы AM и ВК равностороннего треугольника ABC пересекаются в точке О.

Доведения:
Пусть АВС - равносторонний, AM i ВК - биссектрисы, пересекаются в т. А.
Докажем, что АО: ОМ = 2: 1.
В АВС А = B = С = 60 .
ABK = KBC = 1 / 2B = 60 : 2 = 30 (ВК - биссектриса B).
BAM = MAC = 1 / 2A = 60 : 2 = 30 (АМ - биссектриса A).
В ABC равностороннем биссектриса является вышиной. AM ВС, ВК АС.
Осмотрим ВОМ (M = 90 , AM ВС).
Пусть ОМ = х, тогда ОВ = 2 ОМ = 2х (так как OBM = 30 ).
Осмотрим АОВ:
BAO = ABO = 30 , тогда АОВ - равнобедренный с основанием АВ.
Итак, АО = ВО = 2х.
АО: ОМ = 2х х = 2: 1.