Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и

Ответ: 127 гусей.
Решение 1 Запустим процесс задом наперед. Тогда от каждого озера к стае добавлялось поначалу полгуся, а потом свора удваивалась. При этом удваивалась и стая без полгуся, и полгуся. Фактически, умножалась свора, а потом добавлялся целый гусь: так считать удобнее. Пронумеруем озера с конца. После первого озера стало 2-0+1 = 1 гусь, после второго 2-1 + 1 = 3 гуся, и так еще 5 раз: 2-3 + 1 = 7, 2-7 + 1 = 15, 2-15 + 1 = 31, 2-31 + 1 = 63, 2-63+ 1 = 127.
Решение 2. Пусть был гусиный косяк, состоящий из нашей своры сероватых гусей и еще белоснежного гуся. Тогда полкосяка состоит из половины своры и половинки белоснежного гуся. Как раз столько и садилось. После 7 озер от косяка остался только один белоснежный гусь. Означает, сначала в косяке было 1 27 = 128 гусей, из их в стае 127.