Во сколько раз возрастет площадь треугольника, если стороны увеличить в 4

Решение.

Так как размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачки будем считать, что длины сторон соответственно одинаковы произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачку.

Далее приведем текстовое объясненье решения задачи по шагам. Но, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься в низ решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической доли урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) nbsp;
(см. первую строку рисунка понизу)

Длины сторон случайного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c) )
(см. вторую строчку на рисунке понизу)

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - на третьей строке рисунка
S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - 4-ая строчка

Из числа 256 великолепно извлекается квадратный корень, потому вынесем его из-под корня nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;
S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
(см. пятую строчку рисунка понизу)

Чтоб ответить на вопрос, данный в задачке, нам довольно поделить площадь получившегося треугольника, на площадь начального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S2 / S = 16
(см. понизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения - в заключительней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена теснее в виде формул (одна за другой)
4/1/4=16
Ответ: Площадь треугольника возрастет в 16 раз