Коло, центр якого належить бсектрис кута, перетина кожну з його сторн

Дано: AKE. О КС; КС - бсектриса AKE. АК перетина коло в точках А, В.
АЕ перетина коло в точках Е, F. Довести: АВ = EF.
Доведення:
Виконамо додаткову побудову: радуси ОА, OB, ОЕ, OF.
Розглянемо ВОА - рвнобедрений (ВО = АО).
Побудумо висоту ОР.
За властивстю рвнобедреного трикутника мамо: ОР - медана.
За означенням медани трикутника мамо: ВР = РА = 1/2ВА, отже, ВА = 2ВР.
Аналогчно FOE - рвнобедрений (OF = ОЕ - радуси).
Будумо висоту ОН, ОН - медана. FH = HE = 1/2FE; FE = 2FH.
Розглянемо КРО i КНО - прямокутний. КО - спльна сторона;
PKO = HKO. (За умовою КО - бсектриса PKH).
За ознакою piвностi прямокутних трикутникв мамо: КРО = КНО.
Звдси маемо: ОР = ОН.
Розглянемо ВОР i FOH - прямокутний. ВО = OF (радуси); ОН = ОР.
За ознакою piвностi прямокутних трикутникв мамо: ВОР = FOH.
Звдси мамо: ВР = FH. Отже, якщо ВР = FH, тод ВА = FE.
Доведено.