Пятеро приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько вышло рукопожатий?

Решение. Каждый обязан сделать по четыре рукопожатия; означает, всего, как словно бы, получится 4 x 5 = 20 рукопожатий. Но при таком подсчете каждое рукопожатие учитывается два раза: ведь в одном рукопожатии участвуют двое. Поэтому на самом деле рукопожатий в два раза меньше: 4 x 5 : 2 = 10.
В корректности такого решения можно убедиться, сделав к задачке чертеж. Каждый из приятелей обозначается на нем точкой. Точек пять. А рукопожатие обозначается отрезком, объединяющим две точки. Так отрезок АВ на этом чертеже обозначает, что друзья А и В пожали друг другу руку. Видно, что отрезков всего 10.
Еще лучше представить задачу в очевидном виде. К дощечке вызываются 5 воспитанников и судья. 1-ый ученик пожимает остальным руки. Арбитр записывает число сделанных рукопожатий: 4. Сделавший все рукопожатия садится на свое место. Остаются у дощечки четыре. Один из их пожимает руки остальным и садится на место. Арбитр записывает: 3. Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки либо только трем воспитанникам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше. Последующему остается пожать две руки, последующему только одну. А самый заключительный не обязан пожимать руку никому, так как все теснее пожали ему руку. Судья записал: 4, 3, 2, 1. Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 10.
Ответ: 10.