На плоскости проведено 2013 прямых, при этом никакие две из них не

а) Возьмем прямую a и ближайшую к ней точку А скрещения двух иных прямых b и c (если ближайших точек несколько, выберем всякую из их). Треугольник, интеллигентный прямыми a, b и c, не пересекает никакая иная ровная, по другому нашлась бы более близкая к прямой a точка пересечения прямых, чем точка А. Как следует, к хоть какой прямой примыкает как минимум один треугольник, а так как каждый из них при подсчете общего числа учитывается три раза, то таких треугольников не менее 2013/3=671.
б) Имеется не более 2-ух таких прямых, что все точки скрещения других прямых лежат с одной стороны от каждой из них. Действительно, если таких прямых больше, выберем три из их. Они разобьют плоскость на 7 долей, и все точки пересечения других прямых обязаны лежать только в одной из этих долей, чего не может быть (4-ая ровная пересекает две области). Таким образом, у 2013-2=2011 прямых мы дополнительно к пт а) насчитали еще по треугольнику (один порожден наиблежайшей к прямой точкой с одной, а иной наиблежайшей к ней точкой с иной стороны), т.е. высчитали 2013+2011=4024 треугольников. Так как каждый из их по-былому подсчитывается три раза, общее количество треугольников не меньше Ngt;4024/3 = 1341 1/3. Так как N число целое, получаем Ngt;1342.