В треугольник с углами 30 , 70 i 80

Круг вписан в АВС. A = 30 , B = 70 , ZC = 80 . N, Е, Р - точки соприкосновения.
Найти: углы AN РЭ.
Решение:
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке скрещения биссектрис.
Итак, АО - биссектриса BAC, тогда NAO = PAO = BAC: 2 = 30 : 2 = 15 .
Подобно ОВ - биссектриса NBE, тогда NBO = OBE = ABC: 2 = 70 : 2 = 35
и ОС - биссектриса ECP, тогда PCO = ECO = PCE: 2 = 80 : 2 = 40 .
По условию О - центр вписанной окружности, тогда по свойству касательных к окружности,
имеем: ON АВ, ОЕ ВС, ОР АС.
ON - ОЕ = ОР - радиусы вписанной окружности.
Рассмотрим ANO i APO - прямоугольные ANO = APO = 90 , ON = OP,
АО - общая сторона. Тогда по признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем:
ANO = АРО.
Отсюда NOA = POA = 90 - 15 = 75 ; NOP = NOA + POA = 75 + 75 = 150 .
Рассмотрим NOP - равнобедренный (NO = ОР).
По свойству углов piвнобедреного треугольника имеем:
ONP = OPN = (180 - 150 ): 2 = 15 .
Аналогично NOE = 110 , EOP = 100 .
ENO = OEN = (180 - 110 ): 2 = 35 .
ENO = OEN = (180 - 110 ): 2 = 35 .
OEP = OPE = (180 - 100 ): 2 = 40 .
ENP = PNO + ONE, ENP = 15 + 35 = 50 .
NPE = NPO + OPE, NPE = 15 + 40 = 55 .
NEP = NEO + OEP, NEO = 35 + 40 = 75 .
Biдповидь: 50 , 55 , 75 .