В верхушках куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой

Нет, не может. Пусть на гранях записано шесть поочередных естественных чисел, n меньшее из их, а S их сумма. Тогда S = n + (n + 1) + ... + (n + 5) = 6n + 15. Так как каждая верхушка принадлежит трем граням куба, то каждое число от 1 до 8 заходит в три суммы, записанные на гранях. Потому, S = (1 + 2 + + 8)*3 = 108. Уравнение 6n + 15 = 108 не имеет естественных решений, так как в его левой части нечетное число, а в правой части четное.