Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая из их

Пусть медианы MB и PA треугольника MNP пересекаются в точке O
Найдем середины C и D отрезков ОР и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и одинаковы как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Потому четырехугольник ABCD параллелограмм.
Так как диагонали параллелограмма точкой скрещения делятся напополам, то OD = OB. Беря во внимание, что D середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Означает, МО:ОБ = 2:1. Так же РО:ОА= 2:1.
Остается обосновать, что 3-я медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке O1 (рис. 136). Тогда по доказанному MO1:O1B = 2- 1. Беря во внимание, что и МО : ОВ = 2:1, заключаем, что точки O1 и O разделяют отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Означает, медиана NE проходит через точку O скрещения медиан MB и PA.