Записано четыре числа: 0, 0. О, 1. За один ход разрешается

Нельзя. За один ход сумма 4 чисел возрастает на четное число 2.
Если бы через некое количество ходов все четыре числа стали бы одинаковы, то их сумма оказалась бы четной, т.к. сумма четного числа схожих слагаемых четное число.
Первоначальная сумма равна 1 нечетному числу, и прибавляя к нему четное число, невозможно получить четную сумму, так как сумма нечетного и четного чисел нечетная.

Добавляя по 1 сходу к двум числам, мы на 2 увеличиваем первоначальную нечётную сумму 0 + 0 + 0 + 1 = 1. В результате каждой таковой операции получится нечётное число. Четыре схожих числа (т. е. чётную сумму) получить невозможно.