Точки А и B лежат по одну сторону от прямой а.

Решение. Построим отрезок АА\ так, чтобы данная прямая а проходила через его середину и была перпендикулярна к нему (рис.227). Тогда любая точка X прямой а равноудалена от точек А и А\, то есть АХ = А\Х (см. задачку 160). Проведем прямую А\В. Она пересечет прямую а в некоторой точке М (так как точки В и А\ лежат по различные стороны от прямой а). Точка М разыскиваемая. Действительно, пусть X случайная точка прямой а, отличная от точки М. Тогда А\, X и В не лежат на одной прямой и, следовательно, А\Х + ХВ gt; А\В (неравенство треугольника).
Но АХВ = АХМ + MB = AM + MB, AXX = АХ, потому
AM + MB lt; AX + ХВ.