В тетраэдре ABCD отыскать геометрическое место точек, которые разделяет отрезок PQ

Решение. Лемма. В треугольнике AQB точки, разделяющие в отношении 1:2 отрезки PQ, P лежит на AB образуют отрезок EF, параллельный основанию AB, при этом точки E и F делят в отношении 1:2 отрезки AQ и BQ соответственно. Доказательство следует из подобия треугольников QEO и QAP, где O разделяет PQ в отношении 1 : 2 (подобие по двум граням и углу между ними).
Пусть точки K, L, M, N разделяют в отношении 1 : 2 ребра AD, BD, BC и AC соответственно. Все эти точки принадлежат искомому ГМТ.
Покажем, что параллелограмм KLMN есть разыскиваемое ГМТ. Осмотрим произвольную точку Q на ребре CD. По Лемме все разыскиваемые точки, подходящие фиксированной Q образуют отрезок EF, точки E и F, разделяющие отрезки AQ и BQ в отношении 1 : 2, лежат на отрезках KN и LM соответственно.
Двигая точку Q мы получим всевозможные отрезки, параллельные AB с концами, лежащими на KN и LM. Они и образуют параллелограмм KLMN.