Могут ли числа 1, 2, , 100 быть членами ровно 12-ти

Покажем, что 3 различных обычных числа не могут заходить в одну геометрическую прогрессию. Представим неприятное: p₁lt;p₂lt;p₃ обыкновенные числа, p₁=aq^k-1, p₂=aq^r-1, p₃=aq^m-1.

Тогда p₂/p₁=q^r-k=q^s, p₃/p₂=q^m-r=qⁿ. Отсюда p₂^s+n=p₁ⁿp₃^s, что невероятно, так как n и s ненулевые целые числа. Отрицательный ответ на вопрос задачки теперь следует из того факта, что посреди чисел от 1 до 100 содержится 25 разных обычных чисел, а в одну геометрическую прогрессию могут заходить не более 2-ух из них.

Ответ. Не могут.