Можно ли клетчатый квадрат 6x6 разрезать по границам клеток на 9

Ответ: а) нельзя; б) можно.
Решение, а) Общее число клеток фиксировано, поэтому надобно брать прямоугольники с наименьшей площадью (в клеточках), чтоб получить большее количество. Для каждого значения п площади есть прямоугольник размера 1 х п. Не считая того, для составных п есть еще прямоугольники: 2x2 для п = 4; 2 х 3 для п = 6. Сумма даже 9 самых малюсеньких площадей одинакова 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7:= nbsp;38gt; 36, потому на 9 прямоугольников разрезать не получится.
б) Попробуем брать 8 самых малюсеньких площадей: 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 6 = 31 lt; 36. Не хватает 5 клеток, но кто нам мешает прирастить один из прямоугольников. К примеру, 1 + 2 + 8 + 4 + 4 + + 5 + 6 + 6 = 36 (мы поменяли 3 на 8 = 2 х 4).