Две из 4 самостоятельно работающих ламп прибора отказали. Отыскать возможность того,

Решение.
Обозначим через А событие отказали две лампы. Можно сделать следующие догадки (догадки):
В1 - отказали 1-ая и вторая лампы, а 3-я и четвертая лампы исправны, причем (поскольку лампы работают независимо, применима теорема умножения)
Р(В1) = p1?p2?q3?q4 = 0,1?0,2?0,7?0,6 = 0,0084;
В2 - отказали 1-ая и 3-я лампы, а 2-ая и 4-ая исправны, при этом
Р(В2) = p1?q2?p3 ?q4 = 0,1?0,8?0,3?0,6 = 0,0144;
В3 - отказали 1-ая и четвертая лампы, а 2-ая и 3-я - исправны, при этом
Р(В3) = p1?q2?q3?p4 = 0,1?0,8?0,7?0,4 = 0,0224;
В4 - отказали вторая и 3-я лампы, а 1-ая и 4-ая - исправны, при этом
Р(В4) = q1?p2?p3?q4 = 0,9?0,2?0,3?0,6 = 0,0324;
В5 - отказали 2-ая и 4-ая лампы, а 1-ая и третья - исправны, причем
Р(В5) = q1?p2?q3?p4 = 0,9?0,2?0,7?0,4 = 0,0504;
В6 - отказали третья и 4-ая лампы, а 1-ая и 2-ая - исправны, при этом
Р(В6) = q1?q2?p3?p4 = 0,9?0,8?0,3?0,4 = 0,0864;
В7 отказала только одна лампа; В8 - отказали три лампы; В9 - отказали все четыре лампы и В10 все лампы остались исправны.
Вероятности заключительных 4 гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали две лампы) невероятно и означает условные вероятности РВ7(А), РВ8(А), РВ9(А) и РВ10(А) равны нулю, как следует, одинаковы нулю и произведения Р(В7)?РВ7(А), Р(В8)?РВ8(А), Р(В9)?РВ9(А) и Р(В10)?РВ10(А) при любых значениях вероятностей гипотез В7, В8, В9 и В10.
Так как при гипотезах В1 В6 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности одинаковы единице:
РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = РВ4(А) = РВ5(А) = РВ6(А) = 1.
По формуле полной вероятности, возможность того, что отказали две лампы, одинакова
Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2)?РВ2(А) + Р(В3)?РВ3(А) + Р(В4)?РВ4(А) + Р(В5)?РВ5(А) + Р(В6)?РВ6(А) + Р(В7)?РВ7(А) + Р(В8)?РВ8(А) + Р(В9)?РВ9(А) + Р(В10)?РВ10(А) = 0,0084 + 0,0144 + 0,0224 + 0,0324 + 0,0504 + 0,0864 = 0,2144.
По формуле Бейеса, разыскиваемая вероятность того, что отказали первая и 2-ая лампы, одинакова
РА(В1) = Р(В1)?РВ1(А)/ Р(А) = 0,0084/0,2144 0,039.
Ответ: 0,039.