Отыскать максимум прибыли монополиста, если известно, что спрос на его продукцию

Условием максимизации прибыли компании-монополиста являтся исполненьем последующего равенства: MR=MC, где MR - предельный доход, MC - предельные издержки.

1). MR=(TR)' (производная от TR)

TR - выручка, ищется, как TR=P*Q, где P - стоимость изделия, Q - кол-во изделия в естественном выражении.

Чтоб высчитать MR, нужно выразить из функции спроса Q стоимость P:

Q=165-0,5*P;

0,5P=165-Q;

P=330-2*Q;

TR=P*Q=(330-2*Q)*Q=330*Q-2*Q

MR=(TR)'=(330*Q-2*Q)'=330-4*Q

2). MC=(TC)' (производная от TC)

TC - общие издержки фирмы, TC=5500+30*Q+Q=5500+31*Q, по условию

MC=(5500+31*Q)'=31

3). Подставив в равенство максимизации прибыли монополиста MR=MC;

330-4*Q=31

4*Q=299

Q=299/4

P(299/4)=330-2*(299/4)=180,5 (подставили отысканное Q в функцию зависимости цены от кол-ва продукции)

4). Теперь зная стоимость и кол-во продукта, которые максимизируют нашу прибыль, расчитаем ее: Pr=TR-TC, где Pr - прибыль монополиста

TR=P*Q=180,5*(299/4)=13492,375

TC(299/4)=5500+31*(299/4)=7817,25 (подставили отысканное Q в функцию общих затрат)

Pr=13492,375-7817,25=5675,125

Ответ: Pr=5675,125.