Задача по физике. Упругое нецентральное соударение шаров.Бильярдный шар массой m лежит

Либо я что-то не так понимаю, или задачка совершенно непростая. 
Пусть  - прицельный параметр (его мы и будем искать позже).
Просто видеть, что направление скорости мишени после удара не зависит от скорости налетающего шара и сочиняет угол  с горизонтом таковой, что его синус , где  - радиус каждого из шаров.
Пишем теперь законы сохранения:
энергии: 

импульса: 

(Здесь принято обозначение .)
Сейчас делаем таковой трюк: выразим из уравнений  и  члены, содержащие выражения с фактором , возведем их в квадрат и сложим. Тогда около этого фактора после сложения окажется тригонометрическая единица. Так мы избавляемся от функции угла.

Отсюда возьмем  и подставим эту конструкцию в .
.
Это квадратное уравнение условно :
.
Его решение имеет вид:
.
Сейчас вспоминаем про функцию угла, содержащуюся в уравнениях и . Вновь выражаем из их выражения с фактором , но в этот раз мы разделим одно на 2-ое (косинус на синус, например). Получим:

Иными словами, 
.
Сравнивая  и , обретаем одно тривиальное решение, отвечающее неимению удара вообщем и одно нетривиальное, отвечающее равенству правых частей. Это равенство представляет из себя некое уравнение на угол. Сейчас мы вспомним про самое первое уравнение, написанное в решении. Из него просто получить 
Принимая это во внимание и разрешая получившееся из  и  уравнение условно прицельного параметра, получим конечный ответ:


Отсюда, кстати, видно условие на отношение масс: оно обязано быть таким, чтобы корень был неотрицательным, т.е., нужное условие для того, чтоб описанное в условии движение могло иметь место в принципе, выглядит последующим образом: .