Брусок массы m тащат за нить так, что он движется с

для начала нужно получить зависимость силы натяжения нити T от угла наклона к горизонтали , т.е. функцию T()

мудро в данном случае будет навести ось X горизонтально по движению бруска, а ось Y вертикально вверх. тогда, написав уравнения динамики в проекциях на их, получим:

X: T cos = u N

Y: N + T sin = mg

решая эту систему уравнений (например, выражая из второго уравнения N и подставляя в 1-ое), получим разыскиваемую функцию:

T() = (u mg)/(u sin + cos)

заметим, что числитель данной функции есть величина неизменная, решающую роль играет только знаменатель, т.к. только он зависит от угла. проще всего, по-моему, будет ввести дополнительную функцию () = u sin + cos. явно, сила натяжения мала в том случае, когда функция () принимает величайшее значение, при этом найденный угол * (при котором достигается максимум функции ()) будет являться искомым

условия максимума:

(d)/(d) = 0; (d)/(d) lt; 0

найдем первую производную:

(d)/(d) = u cos - sin.

светло, что первая производная обращается в ноль при значении u = tg. мы можем предположить, что отысканный угол * = arctg(u) и есть разыскиваемый

найдем вторую производную:

(d)/(d) = - u sin - cos lt; 0

действительно, u - величина положительная, а угол меж нитью и горизонталью лежит на отрезке [0; /2). следовательно, найденный угол * - искомый. подставим значение u = tg* в функцию T():

T(*) = Tmin = (u mg)/(cos [1 + u])

из тригонометрии: cos = 1/[1+ctg*] = u/[1+u]

конечно получим:

Tmin = (u mg)/[1+u]