Задачка на 100 баллов1)На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой M

1)

Запишем законы:
сохранения испульса ЗСИ,
сохранения энергии ЗСЭ
и сохранения момента импульса ЗСМИ :

mvo = mv + MV     ЗСИ, где vo, v и V исходная скорость шарика и конечные скорости шарика и центра масс стержня;

mvo/2 = mv/2 + MV/2 + J/2     ЗСЭ, где угловая скорость вращения стержня с моментом инерции J = ML/12  ;

mrvo = mrv + J     ЗСМИ , где r расстояние от середины стержня до точки удара;

Из споставления ЗСМИ и ЗСМ:

MV = J/r ;

MV = J/r ;

MV = J/[Mr] ;

Тогда можно переписать ЗСЭ и ЗСМИ так:

m ( vo v ) = J ( 1 + J/[Mr] ) ;     ЗСЭ *

m ( vo v ) = J/r ;     ЗСМИ *

Разделим:

vo + v = r ( 1 + J/[Mr] ) ;     * m

Сложим с ЗСМИ * :

2mvo = mr ( 1 + J/[Mr] ) + J/r = ( mr ( 1 + J/[Mr] ) + J/r ) =
= ( mr + ( 1 + m/M )J/r ) = ( mr + (M+m)L/[12r] ) ;

(r) = 2vo/[ r + (1+M/m)L/(12r) ] ;

Найдём экстремум (r) , решив уравнение: d/dr = 0 ;

d/dr = 2vo ( (1+M/m)L/[12r] 1 ) / ( r + (1+M/m)L/[12r] ) = 0 ;

Ясно, что при r lt; (1+M/m)L/12    :     (r) растёт, а потом падает.

Итак: r(max) = L/2 [(1+M/m)/3] ) ;

Что правильно пока соотношения масс M 2m, и если M=2m то r(max) = L/2,
т.е. шарик при таком соотношени должен попасть в конец стержня.

Если же M gt; 2m, то, пскольку r не может быть больше L/2, то
означает, r(max) = L/2 ;


ОТВЕТ:

Если M 2m, то r(max) = L/2 [(1+M/m)/3] ) ;

Если M 2m, то r(max) = L/2 ;





2)

Из приобретенного импульса p легко найти скорость центра масс:

p = mv;

v = p/m ;

Уравнение движения центра масс S(t) = vt = [p/m] t ;     [1]

Стержень получает момент импульса условно центар масс pL/2, откуда просто найти угловую скорость :

pL/2 = J     где J = mL/12 момент инерции стержня относительно центра масс ;

= pL/[2J] = 6p/[mL] ;

Уравнение вращения (t) = t = [6p/mL] t ;     [2]

Разделяем [1] на [2] и получаем:

S(t)/(t) = [p/m]/[6p/mL] = L/6 ;

S() = L/6 ;

При полном обороте = 2 ;

S(2) = L/3 ;


ОТВЕТ: S(2) = [/3] L .