Может ли потенциальная энергия упруго деформированной пружины быть отрицательной (например

Нет. Не может. Возможная энергия это вовсе не всё, что угодно что "берётся относительно какого-то уровня".


[1] Чтобы понять ответ на ваш вопрос (а он хороший и глубочайший), нужно понять саму философию введения понятия возможной энергии. Отправная точка в рассуждениях название (!) этого понятия. "Возможная" т.е. что-то, что имеется в потенциале, но ещё не реализовано.

К примеру мяч лежит на балконе какого-то этажа в совершеннейшем покое, но если он упадёт на землю с балкона он наберёт какую-то кинетическую энергию. И вот это-то значение кинетической энергии в гипотетичном (возможном) будущем и называется потенциальной энергией мяча в тот момент, когда он ещё никуда не свалился, а только имеет такую гипотетическую (потенциальную) возможность...

Если мяч упадёт не на землю, а в котлован, т.е. на более маленький уровень то он наберёт бльшую кинетическую энергию, а означает, его возможная энергия, рассчитанная условно дна котлована обязана быть больше. Но это приватный случай, не имеющий дела к пружине. О пружине смотрите пункт [6].


[2] Возможная энергия в ограниченном гравитационном поле, рассчитываемая по формуле mgh вправду зависит от точки отсчёта и можно точку отсчёта избрать так (выше балкона), что возможная энергия мяча на балконе в гравитационном поле станет меньше нуля.

С точки зрения самого понятия возможной энергии это будет несколько удивительно, тогда выходит, что при падении на нулевой уровень мяч набрал бы отрицательную кинетическую энергию, но кинетическая энергия не может быть отрицательной! Но это просто значит то, что мяч с более низкой точки в более высшую точку и не полетит.


[3] Главно разуметь, что возможная энергия это не "формула" mgh, а физическое понятие, описанное выше в формулировке [1]. В самом широком диапазоне разделов физики и в самых разных задачках возникает необходимость введения понятия возможной энергии, и в различных ситуациях для потенциальной энергии употребляются разные формулы.

Да, фактически, и гравитационная потенциальная энергия должна рассчитываться по формуле U = -GM/R, как она и рассчитывается при вычислении орбит спутников, движении планет и звёзд. Выражение mgh для потенциальной энергии гравитационного поля это приближённая формула, которой можно воспользоваться только у поверхности Земли.


[4] Вообщем разговаривая, потенциальная энергия это не что другое, как учёт работы в системе полей либо сил. В образце с мячом из пунктов [1] и [2], к примеру, его исходная кинетическая энергия была одинакова нулю, а когда он подлетал к земле она имела некое солидное значение. Откуда взялась эта кинетическая энергия?

Она взялась из-за работы силы тяготения. Можно считать работу силы тяжести, а можно просто ввести новое понятие Возможная ЭНЕРГИЯ, и больше не подсчитывать каждый раз такую работу, а воспользоваться монотипной формулой, в которой теснее всё учтено. Из того же образца с мячом, который лежит на балконе видно, что в формулу возможной энергии непременно должна заходить координата, поскольку конкретно положение тела определяет его потенциальную энергию в той либо иной ситуации.


[5] Итак, на примере с мячом в гравитационном поле, мы узнали, что для мяча найдутся координаты, в которых он имеет положительную потенциальную энергию вследствие чего он "потенциально" может свалиться на землю и "реализовать эту потенциальную энергию", переведя её в форму кинетической. Так же понятно, что если у мяча возможная энергия одинакова нулю т.е. он лежит на земле, то он и не может набрать никакой кинетической энергии.

Если же мяч лежит в котловане (в яме), то упав на землю (!) он не может набрать никакой кинетической энергии, поэтому что это вообще вздорная постановка вопроса мяч из ямы не может свалиться на поверхность земли это бред. Конкретно в этой ситуации возможная энергия в поле гравитации отрицательна.


[6] В случае с пружиной всё совершенно не так. Если пружина не деформирована, то её возможная энергия равна нулю, это значит, что если грузик на пружине в состоянии равновесия предоставить самому себе он не наберёт никакую скорость и никакую кинетическую энергию. Если же пружина деформирована, то при отпускании грузика на таковой пружине грузик устремится к равновесию и наберёт в точке равновесия определённую скорость и будет иметь кинетическую энергию, которая перейдёт в эту форму из потенциальной.

При этом, главно разуметь (!), что безразлично как деформирована пружина, сжимаем мы её либо растягиваем грузик на пружине всё одинаково будет устремляться к точке равновесия и набирать скорость, а означает и кинетическую энергию, которая будет появляться из возможной энергии деформации пружины. Т.е. возможная энергия пружины при любом методе деформации: и при сжатии, и при растяжении положительна!