Потенциал электростатического поля в точке A на расстоянии R от точечного

1. Структура электростатического поля
В силу симметрии задачки, электростатическое поле является центрально-симметричны. т.е. 
r - единичный радиус-вектор от заряда к произвольной исследуемой точке места.
Задачка и её решение инвариантна к повороту (как картинку "ни крути" вокруг заряда, условие задачки и её решение не изменится).

2. Поле при неименьи шара
Когда у нас есть только точечный заряд модуль напряженности электростатического поля .

Потенциал электростатического поля связан с его напряженностью уравнением:

Интегрирование ведётся по произвольному пути между точками 1 и 2.

Отступление: если домножить уравнение на пробный заряд, то получим определение возможной энергии. Правый ингтеграл в этом случае будет работой, абсолютной полем над пробным зарядом.

В нашем случае комфортно интегрировать вдоль круговых линий


Замечание: Потенциал определяется всегда с точностью до аддитивной постоянной, потому во всех задачках всегда выбирается, так называемое, условие нормировки. В различных задачках оно выбирается по различному, но в задачах данного типа принято брать потенциал бесконечно удаленной точки одинаковым нулю 



Подставим в эту формулу отысканное поле:

Получили известный итог. Выразим из этого результата заряд Q.


3. Поле при прибавлении шара.
Для поиска величины напряженности воспользуемся теоремой Гаусса.

Поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося внутри этой поверхности.

Выберем в качестве таковой поверхности сферу радиусом r. В силу структуры поля E(r) = const.



Теперь рассмотрим отдельные участки:
1) Участок 0 lt; r lt; 3R

2) Участок 3Rlt;rlt;4R
E(r) = 0 - электростатического поля внутри образцовых проводников не существует. Если предположить неприятное, то начнётся движение зарядов и это теснее не статика. :)
3) Участок r gt; 4R

4Q - суммарный заряд снутри сферы радиусом r.

Подобно рассчитаем потенциал.



Подставляем в это выражение отысканное ранее Q и имеем:


Что стоит отметить?
1) Потенциал функция непрерывная. Если знать, что сходственные симметричные структуры создают поля подобные точечным зарядам, то задачка решается в уме.
т.е. мы ищем потенциал на наружней границе шара как потенциал точечного заряда 4Q, на внутренней границе он таковой же. Отыскиваем разность потенциалов между внутренней границей и точкой A в поле точечного заряда Q.  Складываем результаты.

2) Несмотря на то, что заряд 3Q на шаре поле внутри шара не творит, он наращивает потенциал точек снутри полости, т.к. создаёт дополнительное поле вне шара. Потенциал - это работа по перемещению точечного заряда из бесконечности в данную точку. Больше поле вне шара - больше работа.

3) Разность потенциалов зависит только от локального поля (поля по в округи пути, соединяющего две точки). Сам потенциал зависит от структуры всего поля.