Вопрос: когда перебегают к скалярным равенствам из векторных, для чего выбирать проекцию

Скалярные равенства имеет дело только с длинами, тогда как вектор имеет не только длину, но и направление, и это направление может меняться. Внедрение проекций дозволяет однозначно найти как длину вектора, так и его направление.

В скалярных равенствах приравнивают только проекции на одинаковые оси, из которых потом можно опять получить вектор.

Проекция в общем случае не одинакова длине вектора, но квадрат длин вектора равен сумме квадратов проекций: