С подмогою теоремы Остроградского-Гаусса вывести формулу для расчёта напряжённости поля

Закон Гаусса:

Поток напряженности электрического поля через произвольную поверхность, окружающую тело, равен заряду тела, умноженному на 4.

Окружим заряженный шар сферой,  радиуса r.

Поначалу положим rgt;R, где R - радиус шара.

Из вышеописанного закона:

, где интеграл берется по поверхности радиуса r.

Из симметричности задачки следует, что напряженность E в каждой точке сферы r схожа (и направлена вдоль радиуса), то есть E=const в подинтегральм выражении. Тогда:

.

Отсюда: .

Для нахождения поля снутри шара, при rlt;R, введем объемную плотность заряда:

.

Аналогично, найдем поток напряженности поля через сферу, радиуса r. Точно также, из симметрии, считаем E = const (на этой сфере). Тогда:

.

Тут, q_in - заряд шара, радиуса r:

.

Подставляя в выражение для E, получим:

.

Ниже представлен график модули напряженности электронного поля для всех r.