изменится ли вес тела при его движении с ускорением в горизонтальном

Если тело не движется со скоростями близкими к скорости света (а это уже законы относительности), то  реакция опоры одинаковая весу тела всегда будет mg ориентированы по вертикали и от горизонтального ускорения никак не зависит. Так же как сила притяжения магнитика к холодильнику ни как не зависит от ускорения, с каким он скользит по холодильнику. Это разные плоскости.

Нет. В этом случае вес тела будет равен силе тяжести. Это можно обосновать, сочиняя проекции векторов сил на ось Y (направленную перпендикулярно движению тела).