К зажимам батареи параллельно присоединены вольтметр и реостат. Если сопротивление реостата

Токи в цепи в первом и во втором случаях:
I1 = E / (r + R1) (1);
I2 = E / (r + R2) (2).

С другой стороны, те же токи одинаковы:
I1 = U1 / R1 = 6 В / 2 Ом = 3 А;
I2 = U2 / R2 = 8 В/4 Ом = 2 А.

Подставляем в (1) и (2) значения токов и противодействий:
3 A = E / (2 Ом + r) (3);
2 A = E / (4 Ом + r) (4);

Избавимся от знаменателя в 3 и 4:
3 A * (2 Ом + r) = E (5);
2 A * (4 Ом + r) = E (6);

6 В + 3 А * r = E (7);
8 В + 2 A * r = E (8);

Умножим обе доли (8) на 1,5:
12 В + 3 А * r = 1,5 * E (9).

Из (9) вычтем (7):
6 В = 0,5 * E;
E = 12 В.

Ответ: 12 В.