Какую долю земной поверхности может охватить взором астронавт с вышины 400

3%.  

Чертим окружность с центром в точке О и из некой точки А на окружности продолжаем радиус до точки В. Расстояние АВ - вышина 400км. Проводим из точки В прямую касательно к окружности. Пусть она дотрагивается окружности в точке С. Треугольник ОВС - прямоугольный. Потому можем отыскать угол АОС как = arccos[R/(R+H)] = arccos[6378/(6378+400)] = 0.34526 (это в радианах, а в градусах будет 19,8град) . Из точки О проводим перпендикуляр к прямой АС и получаем два новых прямоугольных треугольника. Из их пожем найти половину расстояния Х от точки А до точки С: Х = R Sin(/2) = 6378 Sin (0.34526/2) = 1095.6км. А полное расстояние АС в два раза больше и равно 2191.14км. Это та часть земной поверхности, которую может окутать взглядом астронавт. Обретаем ее площадь S1 = 3.14x2191.14 = 15x10^6км. Общая же площадь шарика рассчитывается как S2 = 4x3.14x6378 = 510x10^6км. Отношение S1/S2 = 15/510 = 0.029. Либо 2.9%. Но вследствие того, что мы выискали охватываемую взором площадь как плоскую, а она выпуклая, то в действительности соотношение будет несколько больше. И мы получаем в точности 3%.