какой должна быть добротность контура Q, чтоб частота, при которой наступает

Question

какой должна быть добротность контура Q, чтоб частота, при которой наступает

Какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при которой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает резонанс напряжений, не более чем на 1% ?

Задать свой вопрос

Arinka Bjaljakina
Физика
2019-02-07 22:48:39
4
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

6. Найдите корень уравнения:23 4х = 128.

я отдал одному ученику 3 ореха а всем по 5 орехов.Если

Упростить выражение: (sina*cosa)/(0,5(1-2sin^2a))

А6В каком предложении придаточную часть сложноподчинённого предложения нельзя заменить

Помогите пожалуйста. Как верно сказать: с 1915-го-1926-ой годы либо с 1915-го

Два велосипедиста стартуют одновременно в одном направлении из 2-ух диаметрально

Сочинение про осень, 3 класс

Точность речи6. Исправьте оплошности в словоупотреблении:1) Слово тост означает кусок

как расшифровуется ИСО

Какому количеству вещества (в молях) и объёму газов (в литрах) подходит

Никита Тузик · Answer 1 · 2019-02-07 22:56:23+3:00

Шаг 1. Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
$q'' + 2 \gamma q' + \omega_0^2 q = e(t)$ , приобретенным из уравнения Кирхгофа введением обозначений: $\gamma = \fracR2L$ , $\omega_0 = \frac1 \sqrtLC$ . Для выяснения резонансной частоты возьмем принуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса. $e(t) = \fracE_0L cos(\omega t)$ .
Решение данного уравнения, сообразно теории д.у., имеет вид:
$q = Ae^-\gamma tcos(w_c t + \phi) + B cos(\omega t + \psi)$ , где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - случайное приватное решение, которое ищется в обозначенном виде (в силу необыкновенностей взятой принуждающей силы). Подставим решение $q=B cos(\omega t + \psi)$ в уравнение и (с подмогою, к примеру, векторной диаграммы) получим $B = \fracE_0L \frac1\sqrt(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2$ .
Зная, что $I(t) = q'(t) = - B \omega sin(\omega t +\psi)$ и $U(t) = \fracq(t)C$ . Получаем для амплитуды тока и напряжений последующие выражения: $U = \fracE_0LC \sqrt(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2$ и $I = \fracE_0 \omegaLC \omega \sqrt((\frac\omega_0\omega)^2 - 1)^2 + 4\gamma^2 = \fracE_0LC \sqrt((\frac\omega_0\omega)^2 - 1)^2 + 4\gamma^2$ .
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте $\omega_u = \sqrt\omega_0^2 - 2\gamma^2$ , а у тока при $\omega_i = \omega_0$ .
Шаг 2. Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое $q = Ae^-\gamma tcos(w_c t + \phi)[\tex] lt;stronggt;lt;/stronggt;Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Явно, что это произойдёт за время [tex]\tau = \frac1\gamma$ . За это время система сделала $N = \frac\tauT_c = \frac\omega_c2 \pi \gamma$ колебаний, где $\omega_c = \sqrt\omega_0^2 - \gamma^2$ - собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина $Q = \pi N = \frac\omega_c2 \gamma$ называется добротностью контура.
Шаг 3. Прикладываем ограничения
$\frac\omega_0 - \sqrt\omega_0^2 - 2\gamma^2 \sqrt\omega_0^2 - 2\gamma^2 \leq 0.01$
Решая это неравенство получаем: $\frac\gamma^2\omega_0^2 \leq 0.009851975$ , отсюда $\frac\omega_02\gamma \geq 5.04$
Шаг 4. Обретаем добротность
Вообщем разговаривая, $Q = \frac\omega_c2 \gamma$ и $\frac\omega_02\gamma[\tex] различные величины, потому оценим погрешность, что бы приравнять их с незапятанной совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [tex]Q = \frac \sqrt\omega_0^2 - \gamma^22\gamma = \frac\omega_02\gamma \sqrt1 - \frac\gamma^2\omega_0^2 = \frac\omega_02\gamma ( 1 - \frac\gamma^22\omega_0^2 + o(\frac\gamma^2\omega_0^2)) = \frac\omega_02\gamma - \frac\gamma4\omega_0 + o(\frac\gamma\omega_0).$ Таким образом, отличие подлинного решения от приобретенного примерно 0.03.
Ответ: $Q \ \textgreater \ 5$

P.S. Что дотрагивается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверняка, можно найти итог более точно, но это потребует излишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.

О проекте

какой должна быть добротность контура Q, чтоб частота, при которой наступает

Добро пожаловать!