Нужна помощь безотлагательно

04.09. Векторная и скалярная проекции вектора
PDF Печать E-mail
Векторная и скалярная проекции вектора
Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость дозволяет выстроить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный меж перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.


Рис. 3.22. Векторная проекция вектора на плоскость.
Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.
В векторной алгебре нередко приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование производится просто, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Но задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).


Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.
Обоснуйте, что при параллельном переносе векторов их векторная проекция не изменится.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задачка нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что вероятно выполнить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.
Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и одинакова величине, ей обратной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:


Векторная и скалярная проекции не всегда терминологически делятся требовательно на практике. Обычно пользуются термином проекция вектора, подразумевая под этим скалярную проекцию вектора. При решении же задач нужно четко эти понятия распознавать. Следуя установившейся традиции, будем использовать определения проекция вектора, подразумевая скалярную проекцию, и векторная проекция в согласовании с установленным смыслом.
Докажем аксиому, дозволяющую вычислять скалярную проекцию данного вектора.
Аксиома 5. Проекция вектора на ось L равна творенью его модуля на косинус угла меж вектором и осью, то есть
(3.5)


Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L идиентично нацелены).
Подтверждение. Выполним за ранее построения, дозволяющие отыскать угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет разыскиваемым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:


Так как ось L и ровная MN параллельны.
Выделим два случая обоюдного расположения вектора и оси L.
1. Пусть векторная проекция и ось L идиентично ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .
2. Пусть и L ориентированы в различные стороны (рис. 3.26).


Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в обратные стороны).
Тогда
.

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.
ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некой точке оси L, и эта ось размещена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L угол , не считая того сами векторные проекции образуют меж собой угол , то
. (3.6)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Треугольники ОАВ, ОВС и ОАС прямоугольные, потому


Рис. 3.27. Вектор и его векторные проекции на плоскость S и ось L, лежащую в этой плоскости
(И ось L одинаково нацелены).


Сформулируйте и обоснуйте эту аксиому, когда не все углы A, B Непременно острые (рис 3.28).

Доказанная теорема важна не только в векторной алгебре, но животрепещуща и при решении многих стереометрических задач.



Рис. 3.28. Вектор и его векторные проекции
На плоскость S и ось L, лежащую в этой плоскости
(И ось L обратно нацелены).