На горизонтальной плоскости лежит тонкий стержень массы m

1)
Запишем законы:сохранения испульса ЗСИ,сохранения энергии ЗСЭи сохранения момента импульса ЗСМИ :
mvo = mv + MV      ЗСИ, где vo, v и V начальная скорость шарика и конечные скорости шарика и центра масс стержня;
mvo/2 = mv/2 + MV/2 + J/2      ЗСЭ, где угловая скорость вращения стержня с моментом инерции J = ML/12  ;
mrvo = mrv + J      ЗСМИ , где r расстояние от середины стержня до точки удара;
Из споставления ЗСМИ и ЗСМ:
MV = J/r ;
MV = J/r ;
MV = J/[Mr] ;
Тогда можно переписать ЗСЭ и ЗСМИ так:
m ( vo v ) = J ( 1 + J/[Mr] ) ;     ЗСЭ *
m ( vo v ) = J/r ;     ЗСМИ *
Разделим:
vo + v = r ( 1 + J/[Mr] ) ;    * m
Сложим с ЗСМИ * :
2mvo = mr ( 1 + J/[Mr] ) + J/r = ( mr ( 1 + J/[Mr] ) + J/r ) == ( mr + ( 1 + m/M )J/r ) = ( mr + (M+m)L/[12r] ) ;
(r) = 2vo/[ r + (1+M/m)L/(12r) ] ;
Найдём экстремум (r) , решив уравнение: d/dr = 0 ;
d/dr = 2vo ( (1+M/m)L/[12r] 1 ) / ( r + (1+M/m)L/[12r] ) = 0 ;
Светло, что при r lt; (1+M/m)L/12    :     (r) растёт, а потом падает.
Итак: r(max) = L/2 [(1+M/m)/3] ) ;
Что правильно пока соотношения масс M 2m, и если M=2m то r(max) = L/2,т.е. шарик при таком соотношени обязан попасть в конец стержня.
Если же M gt; 2m, то, пскольку r не может быть больше L/2, тозначит, r(max) = L/2 ;

ОТВЕТ:
Если M 2m, то r(max) = L/2 [(1+M/m)/3] ) ;
Если M 2m, то r(max) = L/2 ;




2)
Из приобретенного импульса p легко отыскать скорость центра масс:
p = mv;
v = p/m ;
Уравнение движения центра масс S(t) = vt = [p/m] t ;     [1]
Стержень получает момент импульса относительно центар масс pL/2, откуда просто отыскать угловую скорость :
pL/2 = J      где J = mL/12 момент инерции стержня условно центра масс ;
= pL/[2J] = 6p/[mL] ;
Уравнение вращения (t) = t = [6p/mL] t ;     [2]
Делим [1] на [2] и получаем:
S(t)/(t) = [p/m]/[6p/mL] = L/6 ;
S() = L/6 ;
При полном обороте = 2 ;
S(2) = L/3 ;