Маленький кусочек нагретого металла опускают в прохладную воду, где он остывает.

Воспользуемся формулой изменения энтропии при термообмене
(см. , например: А.Г. Чертов, А.А. Воробъев "Задачник по физике")

S' = m*c*ln (T/T)   -   для металла

S'' = m*c*ln (T/T)   -   для воды

(Обратим внимание, что при термообмене
Q+Q = 0, но при вычислении по формуле речь не идет о разности температур T и T, а о логарифмах Дела температур по шкале Кельвина!)

Можно пользоваться и формулой:
S = S' + S'' = Q*(T-T)/(T*T)
Вновь же это отношение больше нуля (так как Tgt;T).


И, в конце концов, проще всего сходу воспользоваться одной из формулировок второго начала термодинамики:
"Если система совершает НЕОБРАТИМЫЙ процесс, то ее энтропия вырастает".
Так как у нас процесс НЕОБРАТИМЫЙ - тепло не может передаваться от наименее нагретого тела к более подогретому - то и энтропия вырастает.

(Простенько, но со вкусом...)

В силу второго начала термодинамики, энтропия S_i замкнутой системы не может убавляться" (закон неубывания энтропии). Математически это можно записать так: dS_i \ge 0