Точки M, N и P лежат соответственно на гранях AB, BC

Четырехугольник AMNP - параллелограмм, так как его обратные стороны попарно параллельны по условию. Пусть PN=2x, MN=3x (из условия, что PN:MN=2:3). Рассмотрим треугольники АВС и PNC. Они сходственны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам иного:
- угол С - общий;
- углы А и CPN одинаковы как соответствующые углы при пересечении двух параллельных прямых АВ и PN секущей АС. 
Для сходственных треугольников можно записать соотношение сходственных сторон:
PN : AB = PC : AC. Отсюда РС= PN*AC:AB.
РС=2х*15:10=3х, но и АР=3х также (противоположные стороны параллелограмма MN и АР одинаковы). Тогда
АР+РС=15
3х+3х=15
х=2,5
АР=MN=3*2.5=7.5 см; AM=PN=2*2.5=5 см