метричн спввдношення

МЕТРИЧЕСКИЕ  СООТНОШЕНИЯ   Меж  ЭЛЕМЕНТАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО  ТРЕУГОЛЬНИКА.

Аксиома. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина меж отрезками, на которые основание перпендикуляра разделяет гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная меж гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.

Пусть AD  есть перпендикуляр, опущенный из верхушки прямого угла А на гипотенузу ВС. Нужно обосновать следующие три пропорции:

1.

2.

3.

Первую пропорцию мы докажем из подобия треугольников ABD и ADC. Эти треугольники подобны, поэтому что

/ 1 = / 4     и       /  2 = / 3

как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Возьмём в /\ ABD те стороны BD и AD, которые сочиняют 1-ое отношение доказываемой пропорции; сходственными гранями в  /\ ADC будут AD и DC1, потому

BD : AD = AD : DC.

Вторую пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ABD. Эти треугольники сходственны, поэтому что они прямоугольные и острый угол В у их общий. В /\ AВС возьмём те стороны ВС и А В, которые сочиняют 1-ое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в /\ABD будут АВ и BD; потому

ВС : АВ = АВ: BD.

Третью пропорцию докажем из подобия треугольников AВС и ADC. Эти треугольники подобны, поэтому что они оба прямоугольные и имеют общий острый угол С. В /\ AВС возьмём стороны ВС и АС; сходственными сторонами в /\ ADC будут АС и DC; потому

ВС : АС = АС : DC.

---------------------------------------------------------------------------------

1 Чтоб точно найти, какие стороны взятых треугольников сходственны меж собой, полезно держаться такового пути:

1)   указать углы, против которых лежат взятые стороны 1-го треугольника;

2)  найти равные им углы в другом треугольнике;

3)   брать противолежащие им стороны.

Например, для треугольников ABD и ADC рассуждаем так: в треугольнике ABD стороны BD и AD лежат против углов 1 и 3; в треугольнике ADC этим углам одинаковы 4 и 2; против их лежат стороны AD и DC. Означает, стороны AD и DC сходственны со гранями BD и AD.