В окружности радиуса 5 проведена хорда длины 8. Большая из окружностей,

Пусть центр данной окружности О, хорда АВ, поперечник СМ перпендикулярен АВ и  пересекает её в середине хорды точке Н. АН=ВН. СО=ОМ - радиусы. 

Для 2-ой окружности, хорда АВ - касательная. Следовательно, диаметр СН перпендикулярен АВ и, чтоб быть наибольшим из вероятных, обязан лежать на диаметре СМ данной окружности. 

Соединив О и А, получим прямоугольный АОН. Этот треугольник -"египетский", катет ОН=3 ( можно проверить по т.Пифагора). 

 Тогда СН=СО+ОН=5+3=8. Поперечник внутренней окружности СН=8, ее радиус 8:2=4, и S=r=16