В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом альфа.

Объем прямой призмы равен творенью площади основания на вышину.  V = So*h. В нашем случае площадь основания - это площадь прямоугольного треугольника So=(1/2)*a*b, где  а и b - катеты. Для начала найдем гипотенузу "с" основания и вышину призмы "h" из прямоугольного треугольника, интеллигентного диагональю большей боковой грани "d"  (как гипотенуза):  так как Sin =c/d, a Cos=h/d, то

с=d*Sin, h=d*Cos.  

В прямоугольном треугольнике (основание призмы) Sin=b/c, Cos=a/c. Отсюда катеты одинаковы

b=c*Sin = d*Sin*Sin  и  a=c*Cos=d*Sin*Cos.

Тогда So=(1/2)*dSin*Cos*dSin*Sin  =(1/2)*dSin*Sin*Cos.

V=So*h = (1/2)*dSin*Sin*Cos*d*Cos = (1/2)*dSin*Cos*Sin*Cos.