. Дан пространственный четырехугольникАВСD, М и N середины сторон АВи

Дано: АВСD-пространственный четырехугольник.

М-середина АВ

N-середина ВС

Е СD

К DA

DE:EC=1:2

DK:KA=1:2

Обосновать: MNEK-трапеция.

Д-во:

Рассмотрим треугольник АВС:

М-середина АВ, N-середина ВС

Означает, MN-средняя линия треугольника АВС.

MN=0.5*AC

MNAC

Рассмотрим треугольник АDC:

DE:EC=1:2

DK:KA=1:2

Треугольники ADC и DEK- сходственные (по второму признаку подобия треугольников), т.к угол D-общий, а его стороны пропорциональны:

DE/EC=DK/KA=1/2

Если угол 1-го треугольника равен углу иного, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны подходящим сторонам иного, то такие треугольники сходственны.

А так как два эти треугольника подобны, то КЕAC

Так как KEAC, MNAC =gt; KEMN.

По определению трапеции, четырехугольник именуется трапецией, если две его стороны параллельны, а две иные стороны не параллельны.

Докажем, что стороны КМ, EN не параллельны друг другу.

АМ/MB=CN/NB=1/1

DE/EC=DK/KA=1/2

Означает, стороны KM, EN не могут быть параллельными в связи с различным отношением сторон.

Значит, четырехугольник MNEK-трапеция.